같은 식 −5a3bx2 을 놓고 차수를 물었는데 어떤 문제는 답이 3이고 어떤 문제는 2입니다. 식이 바뀐 게 아니라 '무엇에 대하여'가 바뀐 것인데, 이 한 줄을 놓쳐서 다항식 용어 단원을 통째로 어렵게 느끼는 학생이 많습니다. 이 글에서는 항·차수·계수·상수항·동류항을 '기준 문자'라는 하나의 축으로 다시 정리하고, 그 축을 그대로 이어 내림차순·오름차순 정리까지 끝냅니다. (2022 개정 교육과정 공통수학1 · 구 교육과정 고등 수학Ⅰ 다항식의 연산에 해당합니다.)
- 강의 영상 2편 (개념 001 · 002)
- 단항식과 다항식을 가르는 기준
- 다항식 용어 6가지 — 기준 문자 하나로 전부 결정된다
- 내림차순 · 오름차순으로 정리하는 법
- 자주 틀리는 포인트 5가지
- 연산문제 24제 (정답 토글)
- 한눈에 보는 요약표
- 자주 묻는 질문
강의 영상
개념 001 · 다항식에 대한 용어
단항식·다항식의 구분부터 다섯 용어가 기준 문자에 따라 달라지는 과정까지 다룹니다.
개념 002 · 다항식의 정리 방법
기준 문자를 정하고 나머지를 상수로 보는 관점으로 식을 접어 쓰는 방법입니다.
단항식과 다항식을 가르는 기준
단항식은 수와 문자를 곱하기만 해서 만든 식입니다. 7, −3x, a2bc, 0.5pq3 이 모두 단항식이고, 문자가 하나도 없는 수 7 도 단항식으로 봅니다. 이 단항식들을 더해서 만든 식이 다항식입니다.
그래서 단항식은 다항식의 한 종류입니다. 이 포함 관계를 뒤집어 기억하는 학생이 꽤 있는데, 덧셈이 한 번도 안 일어난 다항식이 단항식이라고 생각하면 순서가 헷갈리지 않습니다.
다항식 용어 6가지 — 기준 문자 하나로 전부 결정된다
아래 여섯 용어는 따로따로 외우는 게 아니라, '어떤 문자에 대하여'라는 조건 하나가 정해지는 순간 한꺼번에 결정됩니다. 문제에서 'x에 대한', 'x의' 같은 표현을 찾는 것이 첫 번째 할 일입니다.
① 항
다항식을 이루는 각각의 단항식입니다. 4x2y − x2 + 3xy − 2x + y + 7 의 항은 4x2y, −x2, 3xy, −2x, y, 7 의 여섯 개. 부호를 떼고 세면 안 됩니다.
② 항의 차수
그 항에 기준 문자가 몇 번 곱해졌는지를 셉니다. 4x2y 에서 x는 두 번 곱해졌으니 x에 대한 차수는 2, y는 한 번이니 y에 대한 차수는 1입니다. x, y 둘 다 기준으로 삼으면 2+1로 차수 3이 됩니다.
③ 다항식의 차수
각 항의 차수 중 가장 큰 값입니다. 위 식을 x에 대해 보면 항별 차수가 2, 2, 1, 1, 0, 0이므로 이차식이고, y에 대해 보면 1, 0, 1, 0, 1, 0이므로 일차식입니다. 같은 식이 기준에 따라 이차식도 되고 일차식도 된다는 것이 이 단원의 핵심입니다.
④ 계수
한 항에서 기준 문자를 빼고 남는 전부가 계수입니다. 수만 계수인 게 아닙니다. 4x2y 에서 x2 의 계수는 4y 이고, y의 계수로 보면 4x2 입니다.
⑤ 상수항
기준 문자가 들어 있지 않은 항입니다. 위 식에서 x에 대한 상수항은 y + 7, y에 대한 상수항은 −x2 − 2x + 7, x, y 모두에 대한 상수항이 비로소 7 입니다. '상수항 = 숫자'가 아니라 '상수항 = 기준 문자가 없는 덩어리'로 기억하십시오.
⑥ 동류항
기준 문자에 대한 차수가 같은 항끼리입니다. x를 기준으로 하면 4x2y 와 −x2 가 동류항(둘 다 이차), 3xy 와 −2x 가 동류항(둘 다 일차)입니다. 동류항은 분배법칙으로 하나로 묶입니다.
4x2y − x2 = (4y − 1)x2, 3xy − 2x = (3y − 2)x
내림차순 · 오름차순으로 정리하는 법
동류항을 묶고 나면 항을 어떤 순서로 늘어놓을지가 남습니다. 방법은 두 가지입니다.
- 내림차순 — 기준 문자의 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로
- 오름차순 — 기준 문자의 차수가 낮은 항부터 높은 항 순서로
정리할 때 지켜야 할 규칙은 딱 하나입니다. 기준 문자를 뺀 나머지 문자는 전부 '수'라고 생각한다.
먼저 문자가 하나뿐인 경우입니다.
3x − 1 + 2x3 − x2 + 5
내림차순 → 2x3 − x2 + 3x + 4
오름차순 → 4 + 3x − x2 + 2x3
문자가 둘 이상이면 여기에 동류항 묶기가 한 단계 더 붙습니다. 앞에서 본 4x2y − x2 + 3xy − 2x + y + 7 을 x에 대한 내림차순으로 정리하면
(4y − 1)x2 + (3y − 2)x + (y + 7)
가 되고, 같은 식을 y에 대한 오름차순으로 정리하면
(−x2 − 2x + 7) + (4x2 + 3x + 1)y
가 됩니다. 완전히 다른 식처럼 보이지만 전개하면 둘 다 원래 식으로 돌아옵니다. 기준을 바꿨을 뿐 식은 그대로라는 점을 확인하고 넘어가십시오.
자주 틀리는 포인트 5가지
| 흔한 실수 | 왜 틀리나 | 바로잡기 |
|---|---|---|
| 계수에 숫자만 쓴다 (4x2y → 계수 4) |
'계수=숫자'로 굳어 있음 | 기준 문자를 가린 뒤 남는 전부. x2의 계수는 4y |
| 부호를 떼고 계수를 쓴다 (−9x → 계수 9) |
항을 부호와 분리해서 봄 | 항은 부호까지 포함. 계수는 −9 |
| 상수항을 무조건 숫자로 답한다 | 기준 문자 조건을 안 읽음 | y에 대한 상수항이면 x가 들어 있어도 상수항 |
| 정리하다 항 하나를 흘린다 | 묶는 중 개수 확인을 안 함 | 정리 전후로 항의 개수를 세어 맞춰 본다 |
| 내림·오름을 반대로 쓴다 | 이름만 외움 | '차수가 내려가면 내림차순'. 뒤로 갈수록 지수가 작아지는지 확인 |
연산문제 24제
세트 하나를 풀고 바로 정답을 확인한 뒤 다음 세트로 넘어가십시오. 계산 자체는 어렵지 않으니 기준 문자를 매번 소리 내어 확인하는 것이 목적입니다.
SET A · 단항식의 차수와 계수 (6제)
다음 단항식의 [ ] 안의 문자에 대한 차수와 계수를 차례로 구하시오.
- −5a3bx2 [ a ]
- −5a3bx2 [ x ]
- 7p2q3r [ q ]
- −xy4z2 [ z ]
- 2m3n [ m, n ]
- −(3/2)u2v3w [ v ]
SET A 정답 확인
- 차수 3, 계수 −5bx2
- 차수 2, 계수 −5a3b
- 차수 3, 계수 7p2r
- 차수 2, 계수 −xy4
- 차수 4, 계수 2 (문자 둘을 함께 보면 지수를 더한다)
- 차수 3, 계수 −(3/2)u2w
1번과 2번을 비교하십시오. 식은 하나인데 답이 둘입니다. 기준이 답을 정합니다.
SET B · 다항식의 차수 · 상수항 · 계수 (6제)
다항식 P = 5x3y − 2xy2 + 4x2 − y + 6 에 대하여 다음을 구하시오.
- x에 대한 P의 차수
- y에 대한 P의 차수
- x, y에 대한 P의 차수
- x에 대한 상수항
- y에 대한 상수항
- x에 대한 삼차항의 계수
SET B 정답 확인
- 3 (5x3y 가 최고차)
- 2 (−2xy2 가 최고차)
- 4 (5x3y 는 3+1=4, −2xy2 는 1+2=3)
- −y + 6
- 4x2 + 6
- 5y
4번과 5번이 서로 다르다는 점이 이 세트의 요지입니다. 상수항은 숫자가 아니라 기준 문자가 빠진 덩어리입니다.
SET C · 내림차순으로 정리하기 (6제)
다음 다항식을 [ ] 안의 문자에 대한 내림차순으로 정리하시오.
- 4x − 7 + x3 − 2x2 [ x ]
- 3y2 − 5 + 2y4 − y [ y ]
- a2b − 3ab2 + b3 − a3 [ a ]
- 2x2y + xy − 3x2 + y2 − x [ x ]
- m3 − 2m2n + 5n2 − mn + 4 [ m ]
- 3st2 − s2t + t3 − 2s3 [ s ]
SET C 정답 확인
- x3 − 2x2 + 4x − 7
- 2y4 + 3y2 − y − 5 (삼차항은 없으므로 건너뛴다)
- −a3 + a2b − 3ab2 + b3
- (2y − 3)x2 + (y − 1)x + y2
- m3 − 2nm2 − nm + (5n2 + 4)
- −2s3 − s2t + 3st2 + t3
4·5번처럼 문자가 둘이면 같은 차수끼리 괄호로 묶는 것까지가 정리입니다. 묶지 않고 늘어놓기만 하면 절반만 한 셈입니다.
SET D · 오름차순으로 정리하기 (6제)
다음 다항식을 [ ] 안의 문자에 대한 오름차순으로 정리하시오.
- x3 + 2x − 5 + 4x2 [ x ]
- 6 − y3 + 3y [ y ]
- 2a2b − ab2 + 3b3 − a3 [ b ]
- x2y − 3xy + 2y2 + x − 4 [ y ]
- p2q2 − 2p + q + 5pq [ q ]
- u3 − 2u2v + uv2 − v3 + 7 [ u ]
SET D 정답 확인
- −5 + 2x + 4x2 + x3
- 6 + 3y − y3
- −a3 + 2a2b − ab2 + 3b3 (−a3 이 b에 대한 상수항)
- (x − 4) + (x2 − 3x)y + 2y2
- −2p + (1 + 5p)q + p2q2
- (−v3 + 7) + v2u − 2vu2 + u3
3번을 눈여겨보십시오. a에 대한 내림차순(SET C 3번)과 b에 대한 오름차순의 결과가 같은 배열로 나옵니다. 우연이 아니라 두 문자의 차수가 서로 반대로 움직이기 때문입니다.
한눈에 보는 요약
| 용어 | 뜻 (기준 문자 = x) | 4x2y − x2 + 3xy − 2x + y + 7 에서 |
|---|---|---|
| 단항식 | 수와 문자를 곱하기만 한 식 | 4x2y, 7 등 |
| 다항식 | 단항식의 합 | 식 전체 (항 6개) |
| 항 | 다항식을 이루는 각 단항식 (부호 포함) | 4x2y, −x2, 3xy, −2x, y, 7 |
| 항의 차수 | x가 곱해진 개수 | 4x2y → 2, 3xy → 1, y → 0 |
| 다항식의 차수 | 항의 차수 중 최댓값 | 2 (x에 대한 이차식) |
| 계수 | x를 뺀 나머지 전부 | x2의 계수 4y − 1 |
| 상수항 | x가 없는 항 | y + 7 |
| 동류항 | x에 대한 차수가 같은 항 | 4x2y 와 −x2 |
| 내림차순 | 차수 높은 항 → 낮은 항 | (4y−1)x2 + (3y−2)x + (y+7) |
| 오름차순 | 차수 낮은 항 → 높은 항 | (y+7) + (3y−2)x + (4y−1)x2 |
자주 묻는 질문
- 상수항이란 그냥 숫자 아닌가요?
- 기준 문자가 하나뿐일 때만 그렇습니다. y에 대한 상수항을 물으면 x가 들어 있는 덩어리도 상수항이 됩니다. 4x2y − x2 + 3xy − 2x + y + 7 에서 y에 대한 상수항은 −x2 − 2x + 7 입니다.
- x에 대한 차수는 어떻게 구하나요?
- 항마다 x가 몇 번 곱해졌는지 세고, 그중 가장 큰 수를 고르면 됩니다. x가 아닌 문자는 아무리 지수가 커도 세지 않습니다. 3x y5 의 x에 대한 차수는 1입니다.
- 계수에 부호를 넣어야 하나요?
- 넣어야 합니다. −9x2 에서 x2의 계수는 −9 입니다. 항은 부호까지가 한 덩어리라고 약속했기 때문입니다. 이 실수가 가장 자주 나오니 답을 쓰기 전에 부호를 한 번 더 보십시오.
- 1/x 나 √x 가 있으면 다항식이 아닌가요?
- 맞습니다. 문자가 분모에 있거나 근호 안에 있으면 다항식이 아닙니다. 다만 (x + 3)/5 처럼 수가 분모인 경우는 계수가 분수일 뿐이므로 다항식입니다.
- 내림차순과 오름차순 중 어느 쪽을 써야 하나요?
- 문제에 지시가 없으면 내림차순으로 씁니다. 다항식의 나눗셈, 이차방정식의 계수 읽기, 항등식의 계수비교가 모두 내림차순을 전제로 하기 때문입니다.